Oscilaciones de un cilindro que rueda sobre un plano inclinado

Actividades

Se introduce

1. El valor del parámetro A, en el control de edición titulado Parámetro
2. El valor de la energía total ε, en el control de edición titulado Energía

Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa interactivo calcula las raíces de la ecuación trascendente ε=V(z), situando al cilindro aleatoriamente es en una de las posiciones de retorno con velocidad inicial nula. A continuación, resuelve la ecuación diferencial del movimiento por el procedimiento de Runge-Kutta, para calcular la posición del cilindro en función del tiempo.

El parámetro C se ha fijado en el valor C=1, el radio del cilindro se ha fijado en R=1, lo que equivale a fijar el ángulo del plano inclinado en el valor θ=8.8º.

Cuando se introduce el valor de A, se representa gráficamente de V(z) en función de z, la energía total ε se representa mediante una línea horizontal, y un segmento vertical de color azul en la posición del c.m. del cilindro indica su energía cinética (de traslación y de rotación).

En la parte inferior del applet se observa el movimiento del cilindro sobre el plano inclinado. Con origen en su c.m. se han dibujado.

• El campo magnético (una flecha de color azul que apunta hacia arriba).
• El momento magnético del imán (una flecha de color rojo, que gira con el cilindro).
• La fuerza F neta que actúa sobre el c.m. del cilindro, (una flecha de longitud variable de color negro).

Fijarse que la fuerza F es nula en los máximos y en los mínimos de V(z), es positiva cuando la pendiente de V(z) es negativa y es negativa cuando la pendiente es positiva.

Ejemplos

Para A=4 observamos una sucesión de máximos y mínimos locales en las posiciones siguientes:

• Máximos: -4.97, 1.32, 7.6…

• Mínimos: -7.60, -1.32, 4.97

Introducimos una energía ε=2.2. Las raíces de la ecuación trascendente ε=V(z) son

z₁=-2.95, z₂=0.88, z₃=1.74

El cilindro tiene dos posibles movimientos

• Oscila entre las posiciones z₁≤z≤z₂
• Baja rodando sin deslizar desde la posición z₃ en adelante

Al pulsar el botón titulado Empieza, se selecciona aleatoriamente una de las tres posiciones de partida.

Cuando la energía total es ε=-1.5 próxima al mínimo local de V(z) el cilindro oscila con un periodo del 3.3 s entre las posiciones z₁=-2.05 y z₂=-0.53. Este periodo es un poco mayor que el que se obtiene mediante la fórmula aproximada

Los valores del tiempo t, la posición z y la velocidad v del c.m. del cilindro se muestra en la esquina superior izquierda del applet. Cuando el cilindro sale de una de las posiciones extremas se empieza a contar el tiempo. Se puede medir el periodo, utilizando los botones titulados Pausa/Continua y Paso, deteniendo el movimiento del cilindro cuando su c.m. regrese a la posición de partida.

Para A=1. Si introducimos una energía ε=0, el cilindro permanece en esta posición de equilibrio.

Para A=0.3. Si introducimos una energía ε=0, el cilindro baja rodando a lo largo del plano inclinado desde la posición inicial z₀=0. Este tipo de movimiento se produce para cualquier valor de la energía ε.